Nota

Universidad Nacional de Córdoba - Facultad de Matemáticas, Astronomía y Física

21 de Febrero de 2011 |

La matemática detrás de los juegos de ingenio y las redes sociales

Desde la ilusoria simplicidad de reproducir un dibujo sin pasar dos veces por el mismo lugar, hasta el desafío oriental de reubicar un puñado de números en las celdas del Sudoku, la geometría no sólo se empeña en expandirse hasta las páginas de entretenimiento, sino que también encuentra soluciones a problemas reales, de elevada complejidad, con una dinámica centenaria: trazando líneas y uniendo puntos.

Königsberg fue una ciudad alemana fundada a comienzos del siglo XIII, que tras la segunda Guerra Mundial pasó a formar parte de la entonces Unión Soviética y fue rebautizada como Kaliningrado. Pero, al margen de sus ajetreos históricos, este enclave tuvo un papel protagónico en un problema matemático clásico: los puentes de Königsberg.

El planteo es simple. Dentro de los límites de la ciudad, el río Pregel se bifurca y reconecta de modo que genera una isla en el interior de la urbe. Este sector está comunicado con el resto de la localidad por siete puentes. El desafío residía en saber si era posible recorrerlos todos una sola vez, partiendo y terminando en el mismo lugar.

En 1736, el matemático y físico Leonhard Euler demostró la imposibilidad de transitar un camino con esas condiciones y, de esa manera, dio uno de los primeros impulsos a lo que en la actualidad se conoce como Teoría de Grafos, un área de la geometría que estudia las propiedades de los objetos formados sólo por puntos y segmentos que los unen.

Lo que hizo Euler fue “modelizar” el planteo, es decir, convertir un problema de la vida cotidiana en matemático. Para ello, sustituyó las zonas de tierra firme por un conjunto de puntos y trazó todas las conexiones posibles de los puentes con una serie de líneas. A partir del análisis de este caso, Euler descubrió que la característica excluyente para poder efectuar el trayecto es que todos los vértices del gráfico debían ser pares (es decir, el número de aristas que confluyen en él debía ser par) o que, a lo sumo, existan dos vértices impares (donde converja una cantidad impar de aristas).

“Este principio obedece a que si se quieren recorrer todos los puentes en forma exacta una vez, indefectiblemente los vértices deben ser pares, porque se ingresa por una arista y se sale por la otra. Esto se aplica a todos los vértices, excepto en el que se empieza o termina”, explica a InfoUniversidades Leandro Cagliero, docente e investigador. Desde los puentes de Königsberg hasta las redes sociales, pasando por los recorridos del transporte público, las vías férreas, el tendido eléctrico, las rutas que conectan ciudades y las antenas telefónicas, la Teoría de Grafos aporta soluciones a complicaciones de la vida real.

“Una situación concreta que puede resolver esta rama de la geometría es identificar el camino más corto que debe efectuar una noticia en Facebook para llegar a todos los usuarios de la red”, señala Cagliero, y completa: “Si todos mandan una noticia a la totalidad de sus contactos, entonces cada uno recibirá miles de veces la misma información. La idea es conocer, con buena aproximación, el mínimo número de personas a las que cada usuario debe remitirle el texto de modo que todos los integrantes de la comunidad se enteren del tema y accedan al mensaje una única vez”.

Pintando mapas

La Teoría de Grafos está relacionada con una rama de la geometría llamada “Topología” cuyo objeto de estudio son las propiedades que se mantienen invariables cuando los objetos geométricos se mueven “como si fueran de goma”.

En matemática, otro de los problemas topológicos tradicionales fue enunciado por Francis Guthrie en 1852, pero resuelto recién en 1976 y con la ayuda de una computadora, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, de la Universidad de Illinois. En este caso, el reto era saber cuál era el mínimo número de colores necesarios para pintar las regiones de cualquier mapa, de manera que cada una tuviera un matiz diferente del que poseían sus zonas adyacentes (en este caso, las áreas limítrofes deben compartir una frontera, no basta con que se unan en un punto).

Guthrie, había elaborado una conjetura sobre el tema mientras trabajaba en la cartografía de Inglaterra y pensaba que cuatro colores eran suficientes. Su postulado, conocido como el “Teorema de los cuatro colores”, fue analizado por un sinnúmero de matemáticos de su época. En 1879, Alfred Kempe, un abogado y matemático, anunció que había logrado demostrar la validez del teorema: su verificación fue publicada en la revista “Nature” de julio de ese año. Sin embargo, una década más tarde Percy Heawood encontró un error en esa demostración.

Si bien más tarde se probó con relativa facilidad que cualquier mapa puede ser coloreado a lo sumo con seis tonalidades, e incluso con cinco, la demostración de que sólo cuatro son suficientes demoró mucho más. Recién en 1976, Appel y Haken pudieron hacerlo, pero con la ayuda de una computadora. De todos modos, todavía algunos matemáticos consideran que la conjetura no ha sido demostrada en forma rigurosa, ya que no consideran válido el uso de la computadora para su resolución.

En la vida diaria, un caso cotidiano de coloreo es el Sudoku, un juego de ingenio japonés que consiste en distribuir números del uno al nueve en las 81 casillas de una cuadrícula. La condición es que en ninguna hilera -vertical u horizontal- se repita un mismo dígito. Se trata de un traspolación del coloreo de mapas, donde los números pueden ser reemplazados por matices.

Eliana Piemonte
Andrés Fernández
Mariana Mendoza
Universidad Nacional de Córdoba

Prosecretaría de Comunicación Institucional
comunicacion@rectorado.unc.edu.ar
www.unc.edu.ar


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